martes, 15 de mayo de 2012

Polinomios Aritméticos

Polinomios Aritméticos


En matemáticas, un polinomio es una expresión constituida por un conjunto infinito de variables y constantes, utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como exponentes enteros positivos. En otras palabras, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas. 
Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios.
Un polinomio está compuesto por las siguientes partes:


Factor Literal o Parte Literal: Corresponde a las letras que se representan en un término.
Coeficiente: El primero de los factores de un término, en palabras mas sencillas, el número que multiplica las letras en un término.
Grado de un término: Es la suma de los exponentes de sus factores literales.
Grado de un polinomio: Es el grado máximo de los exponentes de los monomios que lo componen.


Ejemplos: 


1. Encontremos el coeficiente, el factor literal y el grado del término  8x2y.


Solución:


Para 8x2y se tiene el coeficiente numérico que es 8, el factor literal es x2y, el grado es la suma de los exponentes, en este caso x tiene exponente 2, y tiene exponente 1, por lo tanto el grado es 2+1= 3.


2. Sea la expresión: x4+4x3-6x2y2-4xy5determine su grado.


Solución:


A cada término se le deduce el grado, así, el grado de x4  es 4 porque ese es su exponente. 4x3 tiene grado 3, -6x2y4 tiene grado 2+4=6 donde 2 es el exponente de x, 4 es el exponente de Y, 4xy5 tiene grado 1+5=6; para determinar el grado de la expresión basta con que tomemos el grado más grande, que en este caso corresponde a 6.


                                                             Términos Semejantes


Expresiones algebraicas en la que todas las partes (variable(s) y exponente(s) de esta(s) variable(s)) excepto los coeficientes numéricos, son los mismos.


Ejemplos:


4x2y: 12yx2
5x: 20x
2pq3: 5q3p


                                                        Suma y Resta de Polinomios      

La suma y resta  de dos o más polinomios es el polinomio formado por la suma o resta de los 
términos semejantes.

Ejemplos:

1. Sumemos los polinomios 45x + 12x2 + 15x3; 35x + 18x2 + 18x2 + 20x3; 40x + 20x2 + 30x3.

Solución:


Organicemos los términos semejantes de manera vertical y sumemos los coeficientes de cada columna:

45x + 12x2 + 15x3
35x + 18x2 + 20x3
40x + 20x2 + 30x3


120x + 50x2 + 65x3




2. Restemos los siguientes polinomios: 2x3 - 8x3



Solución:

2x3 – 8x3 = -6x3

Multiplicación de monomios.

Para realizar la multiplicación de dos monomios:

1. Se multiplican los coeficientes de los monomios.
2.Se multiplica la parte literal de los monomios, teniendo presente las reglas de multiplicación de potencias de igual base: an x am = a(n+m)

Ejemplos:


1. Hallemos el producto: (3x3y2z)(5x2y4z3)

(3x3y2z)(5x2y4z3) = (3 x5)(x3x2)(y2y4)(zz3) = 15x5y6z4

2. Multipliquemos los monomios: (- ½ x2y)(4x3y2)

(- ½ x2y)(4x3y2) = - 4/2x(2+3)y(1+2) = - 2x5y3

3. Simplifiquemos la expresión: (2x2y)(3/4xy2)(-5/6y)

(2x2y)(3/4xy2)(-5/6y) = (2x3/4x-5/6)x(2+1)y(1+2+1) = -5/4x3y4

Para multiplicar un monomio por un monomio se aplica la propiedad distributiva, multiplicando el monomio dado por cada uno de los términos del polinomio


Multiplicación de polinomios

Para multiplicar polinomios, se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro; luego, se adicionan los resultados y se reducen términos semejantes.

Ejemplos:

Multipliquemos: (4x4 – 3x3 + 5x – 3)(5x4 + 4x3)

                              4x4     –   3x3   +   5x  –  3
                    x                                 5x4   +  4x

                  16x7 – 12x6                       +  20x4 – 12x3
    +20x8 – 15x7              + 25x5   -   15x4
      
       20x8 +  x7     -  12x6  + 25x5   +    5x4 -   12x3

= (4x4 – 3x3 + 5x – 3)(5x4 + 4x3) = 20 x8 + x7 – 12x6 + 25x5 + 5x4 – 12x3   

Al multiplicar polinomios se deben organizar los términos del polinomio en orden, según el exponente, escribiendo los términos del producto según los exponentes de la parte literal.     

Si la multiplicación la efectuamos de manera horizontal, aplicamos la propiedad distributiva así: 

(a + b)(c + d) = ac +  ad + bc + bd.



    






                                 






































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